Le programme de mathématiques en cycle 4 (5e-4e-3e)

Le programme de mathématiques est rédigé pour l'ensemble du cycle. 

Ce programme est ancré dans les cinq domaines du socle et il est structuré selon les quatre thèmes classiques : nombres et calculs ; organisation et gestion de données, fonctions ; grandeurs et mesures ; espace et géométrie. En outre, un enseignement de l’informatique est dispensé conjointement en mathématiques et en technologie.

La formation au raisonnement et l’initiation à la démonstration sont des objectifs essentiels du cycle 4. Le raisonnement, au cœur de l'activité mathématique, doit prendre appui sur des situations variées (par exemple problèmes de nature arithmétique ou géométrique, mais également mise au point d’un programme qui doit tourner sur un ordinateur ou pratique de jeux pour lesquels il faut développer une stratégie gagnante, individuelle ou collective, ou maximiser ses chances). Les pratiques d'investigation (essai-erreur, conjecture-validation, etc.) sont essentielles et peuvent s’appuyer aussi bien sur des manipulations ou des recherches papier/crayon, que sur l'usage d’outils numériques (tableurs, logiciels de géométrie, etc.). 

Le programme donne une place importante à l’utilisation des nombres. L’introduction de nouveaux nombres (nombres rationnels, racine carrée) peut utilement s’appuyer sur un travail des grandeurs et mesures ou de la géométrie. L’extension des procédures de calcul (addition, soustraction, multiplication, division) aux nombres rationnels et l’introduction du calcul littéral doivent s'appuyer sur des situations permettant de construire le sens des nombres et des opérations.

Au cycle 3, l’élève a commencé à passer d’une géométrie où les objets et leurs propriétés sont contrôlés par l’observation et l’instrumentation à une géométrie dont la validation s’appuie sur le raisonnement et l’argumentation. Ces nouvelles formes de validation sont un objectif majeur du cycle 4. En fin de cycle, de nouvelles transformations géométriques sont étudiées à travers des activités de description et de construction, pouvant s'appuyer sur l’utilisation de logiciels.

Au cycle 4, l'élève développe son intuition en passant d'un mode de représentation à un autre : numérique, graphique, algébrique, géométrique, etc. Ces changements de registre sont favorisés par l’usage de logiciels polyvalents tels que le tableur ou les logiciels de géométrie dynamique. L'utilisation du tableur et de la calculatrice est nécessaire pour gérer des données réelles et permet d'inscrire l'activité mathématique dans les domaines 3, 4 et 5 du socle.

L’enseignement de l’informatique au cycle 4 n’a pas pour objectif de former des élèves experts, mais de leur apporter des clés de décryptage d’un monde numérique en évolution constante. Il permet d’acquérir des méthodes qui construisent la pensée algorithmique et développe des compétences dans la représentation de l’information et de son traitement, la résolution de problèmes, le contrôle des résultats.

La pratique des mathématiques, en particulier les activités de recherche, amène les élèves à travailler sur des notions ou des objets mathématiques dont la maîtrise n'est pas attendue en fin de troisième (par exemple, irrationalité de certains nombres, caractéristiques de dispersion d’une série statistique autres que l’étendue, modélisation de phénomènes aléatoires, calculs de distances astronomiques, droites remarquables dans un triangle, travail sur les puissances et capacité de stockage) ; c'est aussi l'occasion d'enrichir leur culture scientifique.

 

 

Thème A – Nombres et calculs

Au cycle 4, les élèves consolident le sens des nombres et confortent la maitrise des procédures de calcul. Les différentes composantes de ce thème sont reliées entre elles. Les élèves manipulent des nombres rationnels de signe quelconque. Ils prennent conscience du fait qu’un même nombre peut avoir plusieurs écritures (notamment écritures fractionnaire et décimale). Les élèves abordent les bases du calcul littéral, qu’ils mettent en œuvre pour résoudre des problèmes faisant intervenir des équations ou inéquations du premier degré. A l’occasion d’activités de recherche, ils peuvent rencontrer la notion de nombres irrationnels, par exemple lors d’un travail sur les racines carrées.

 

  • Attendus de fin de cycle

- Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes

Utiliser diverses représentations d’un même nombre (écriture décimale ou fractionnaire, notation scientifique, repérage sur une droite graduée) ; passer d’une représentation à une autre.

Nombres décimaux.
Nombres rationnels (positifs ou négatifs), notion d’opposé.
Fractions, fractions irréductibles, cas particulier des fractions décimales.
Définition de la racine carrée ; les carrés parfaits entre 1 et 144.
Les préfixes de nano à giga.

Comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels.

Repérer et placer un nombre rationnel sur une droite graduée.

Ordre sur les nombres rationnels en écriture décimale ou fractionnaire.
Égalité de fractions.

Pratiquer le calcul exact ou approché, mental, à la main ou instrumenté.

Calculer avec des nombres relatifs, des fractions ou des nombres décimaux (somme, différence, produit, quotient).

Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur.

Effectuer des calculs numériques simples impliquant des puissances, notamment en utilisant la notation scientifique.

Définition des puissances d’un nombre (exposants entiers, positifs ou négatifs).


- Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers

Déterminer si un entier est ou n’est pas multiple ou diviseur d’un autre entier.

Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.

Division euclidienne (quotient, reste).
Multiples et diviseurs.

Notion de nombres premiers.


- Utiliser le calcul littéral

Mettre un problème en équation en vue de sa résolution.

Développer et factoriser des expressions algébriques dans des cas très simples.

Résoudre des équations ou des inéquations du premier degré.

Notions de variable, d’inconnue.

Utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat général, pour valider ou réfuter une conjecture.

 

 

 

Thème B – Organisation et gestion de données, fonctions

La plupart des notions travaillées dans ce thème ont déjà été abordées aux cycles précédents. Au cycle 4, les élèves apprennent à utiliser une représentation adaptée de données pour en faire une interprétation critique. Ils abordent les notions d’incertitude et de hasard, afin de construire une citoyenneté critique et rationnelle. Ils apprennent à choisir une méthode adaptée au problème de proportionnalité auquel ils sont confrontés. Ils découvrent progressivement la notion de fonction, qui leur permet d'accéder à de nouvelles catégories de problèmes.

 

  • Attendus de fin de cycle

- Interpréter, représenter et traiter des données

Recueillir des données, les organiser.

Lire des données sous forme de données brutes, de tableau, de graphique.

Calculer des effectifs, des fréquences.

Tableaux, représentations graphiques (diagrammes en bâtons, diagrammes circulaires, histogrammes).

Calculer et interpréter des caractéristiques de position ou de dispersion d'une série statistique.

Indicateurs : moyenne, médiane, étendue.

 

- Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités

Aborder les questions relatives au hasard à partir de problèmes simples.

Calculer des probabilités dans des cas simples.

Notion de probabilité.

Quelques propriétés : la probabilité d’un événement est comprise entre 0 et 1 ; probabilité d’évènements certains, impossibles, incompatibles, contraires. 

 

- Résoudre des problèmes de proportionnalité
Reconnaitre une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalité.

Résoudre des problèmes de recherche de quatrième proportionnelle.

Résoudre des problèmes de pourcentage.

Coefficient de proportionnalité.

 

- Comprendre et utiliser la notion de fonction

Modéliser des phénomènes continus par une fonction.

Résoudre des problèmes modélisés par des fonctions (équations, inéquations).

Dépendance d’une grandeur mesurable en fonction d’une autre.
Notion de variable mathématique.
Notion de fonction, d'antécédent et d'image.
Notations f(x) et x  f(x).

Cas particulier d’une fonction linéaire, d’une fonction affine.

 

 

 

Thème C – Grandeurs et mesures

 

En continuité avec le travail engagé au cycle 3, ce thème se prête particulièrement à des connexions avec les autres thèmes du programme et offre de nombreux liens avec la physique-chimie ou les sciences de la vie et de la Terre. C’est aussi l’occasion d’activités de recherche (par exemple pour déterminer la formule donnant le volume de certains solides).

Les élèves doivent disposer de références concrètes (savoir, par exemple, que la circonférence de la Terre est environ 40000 km) et être capables d’estimer l'ordre de grandeur d'une mesure. Par ailleurs, le travail autour des formules s'inscrit parfaitement dans l'introduction du calcul littéral.

  • Attendu de fin de cycle :

Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

Mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables, notamment des grandeurs composées, en conservant les unités.

Vérifier la cohérence des résultats du point de vue des unités.

Notion de grandeur produit et de grandeur quotient.

Formule donnant le volume d’une pyramide, d’un cylindre, d’un cône ou d’une boule. 


Comprendre l’effet de quelques transformations sur des grandeurs géométriques

Comprendre l’effet d’un déplacement, d'un agrandissement ou d'une réduction sur les longueurs, les aires, les volumes ou les angles.

Notion de dimension et rapport avec les unités de mesure (m, m2, m3).

 

 

 

Thème D - Espace et géométrie

 

Au cycle 3, les élèves ont découvert différents objets géométriques, qui continuent à être rencontrés au cycle 4. Ils valident désormais par le raisonnement et la démonstration les propriétés qu'ils conjecturent. Les définitions et propriétés déjà vues au cycle 3 ainsi que les nouvelles propriétés introduites au cycle 4 (relations entre angles et parallélisme, somme des angles d’un triangle, inégalité triangulaire, caractérisation de la médiatrice, théorèmes de Thalès et de Pythagore) fournissent un éventail d'outils nourrissant la mise en œuvre d'un raisonnement. Les transformations font l'objet d'une première approche, consistant à observer leur effet sur des configurations planes, notamment au moyen d'un logiciel de géométrie.

 

  • Attendus de fin de cycle:

- Représenter l’espace

(Se) repérer sur une droite graduée, dans le plan muni d'un repère orthogonal, dans un parallélépipède rectangle ou sur une sphère.

Abscisse, ordonnée, altitude.
Latitude, longitude.

Utiliser, produire et mettre en relation des représentations de solides et de situations spatiales.

Développer sa vision de l’espace. 


- Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer

Mettre en œuvre ou écrire un protocole de construction d’une figure géométrique.

Coder une figure.

Comprendre l’effet d’une translation, d’une symétrie (axiale et centrale), d’une rotation, d’une homothétie sur une figure.

Résoudre des problèmes de géométrie plane, prouver un résultat général, valider ou réfuter une conjecture.

Position relative de deux droites dans le plan.
Caractérisation angulaire du parallélisme, angles alternes / internes.
Médiatrice d'un segment.
Triangle : somme des angles, inégalité triangulaire, cas d’égalité des triangles, triangles semblables, hauteurs, rapports trigonométriques dans le triangle rectangle (sinus, cosinus, tangente).
Parallélogramme : propriétés relatives aux côtés et aux diagonales.
Théorème de Thalès et réciproque.
Théorème de Pythagore et réciproque.

 

 

 

Thème E – Algorithmique et programmation

 

Au cycle 4, les élèves s’initient à la programmation, en développant dans une démarche de projet quelques programmes simples, sans viser une connaissance experte et exhaustive d’un langage ou d’un logiciel particulier. En créant un programme, ils développent des méthodes de programmation, revisitent les notions de variables et de fonctions sous une forme différente, et s’entraînent au raisonnement.

 

  • Attendus de fin de cycle

Écrire, mettre au point et exécuter un programme simple

Décomposer un problème en sous-problèmes afin de structurer un programme ; reconnaître des schémas.

Écrire, mettre au point (tester, corriger) et exécuter un programme en réponse à un problème donné.

Écrire un programme dans lequel des actions sont déclenchées par des évènements extérieurs.

Programmer des scripts se déroulant en parallèle.

Notions d’algorithme et de programme.
Notion de variable informatique.

Déclenchement d'une action par un événement, séquences d'instructions, boucles, instructions conditionnelles.