Le programme de mathématiques en 6e (Cycle 3)

Nombres et calculs

Au cycle 3, l’étude des grands nombres permet d’enrichir la compréhension de notre système de numération (numération orale et numération écrite) et de mobiliser ses propriétés lors de calculs.

Les fractions puis les nombres décimaux apparaissent comme de nouveaux nombres introduits pour pallier l’insuffisance des nombres entiers, notamment pour mesurer des longueurs, des aires et repérer des points sur une demi-droite graduée. Le lien à établir avec les connaissances acquises à propos des entiers est essentiel. Avoir une bonne compréhension des relations entre les différentes unités de numération des entiers (unités, dizaines, centaines de chaque ordre) permet de les prolonger aux dixièmes, centièmes… Les caractéristiques communes entre le système de numération et le système métrique sont mises en évidence. L’écriture à virgule est présentée comme une convention d’écriture d’une fraction décimale ou d’une somme de fractions décimales. Cela permet de mettre à jour la nature des nombres décimaux et de justifier les règles de comparaison (qui se différencient de celles mises en œuvre pour les entiers) et de calcul.

Le calcul mental, le calcul posé et le calcul instrumenté sont à construire en interaction. Ainsi, le calcul mental est mobilisé dans le calcul posé et il peut être utilisé pour fournir un ordre de grandeur avant un calcul instrumenté. Réciproquement, le calcul instrumenté peut permettre de vérifier un résultat obtenu par le calcul mental ou par le calcul posé. Le calcul, dans toutes ses modalités, contribue à la connaissance des nombres. Ainsi, même si le calcul mental permet de produire des résultats utiles dans différents contextes de la vie quotidienne, son enseignement vise néanmoins prioritairement l’exploration des nombres et des propriétés des opérations. Il s’agit d’amener les élèves à s’adapter en adoptant la procédure la plus efficace en fonction de leurs connaissances mais aussi et surtout en fonction des nombres et des opérations mis en jeu dans les calculs. Pour cela, il est indispensable que les élèves puissent s’appuyer sur suffisamment de faits numériques mémorisés et de modules de calcul élémentaires automatisés. De même, si la maitrise des techniques opératoires écrites permet à l’élève d’obtenir un résultat de calcul, la construction de ces techniques est l’occasion de retravailler les propriétés de la numération et de rencontrer des exemples d’algorithmes complexes.

Les problèmes arithmétiques proposés au cycle 3 permettent d’enrichir le sens des opérations déjà abordées au cycle 2 et d’en étudier de nouvelles. Les procédures de traitement de ces problèmes peuvent évoluer en fonction des nombres en jeu et de leur structure. Le calcul contribuant aussi à la représentation des problèmes, il s’agit de développer simultanément chez les élèves des aptitudes de calcul et de résolution de problèmes arithmétiques (le travail sur la technique et sur le sens devant se nourrir l’un l’autre).

 

  • Attendus de fin de cycle                                                                                                     

- Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux.

- Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux.

- Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul.

 

  • Connaissances et compétences associées

Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux

Composer, décomposer les grands nombres entiers, en utilisant des regroupements par milliers.

Unités de numération (unités simples, dizaines, centaines, milliers, millions, milliards) et leurs relations.

Comprendre et appliquer les règles de la numération aux grands nombres (jusqu’à 12 chiffres).

Comparer, ranger, encadrer des grands nombres entiers, les repérer et les placer sur une demi-droite graduée adaptée.

Comprendre et utiliser la notion de fractions simples.

Écritures fractionnaires.
Diverses désignations des fractions (orales, écrites et décompositions).

Repérer et placer des fractions sur une demi-droite graduée adaptée.

Une première extension de la relation d’ordre.

Encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs.

Établir des égalités entre des fractions simples.

Comprendre et utiliser la notion de nombre décimal.

Spécificités des nombres décimaux.

Associer diverses désignations d’un nombre décimal (fractions décimales, écritures à virgule et décompositions).

Règles et fonctionnement des systèmes de numération dans le champ des nombres décimaux, relations entre unités de numération (point de vue décimal), valeurs des chiffres en fonction de leur rang dans l’écriture à virgule d’un nombre décimal (point de vue positionnel).

Repérer et placer des décimaux sur une demi-droite graduée adaptée.

Comparer, ranger, encadrer, intercaler des nombres décimaux.

Ordre sur les nombres décimaux.

 

Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux

Mémoriser des faits numériques et des procédures élémentaires de calcul.

Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit.

Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur.

Addition, soustraction, multiplication, division.
Propriétés des opérations :

2+9 = 9+2
3×5×2 = 3×10
5×12 = 5×10 + 5×2

Faits et procédures numériques additifs et multiplicatifs.
Multiples et diviseurs des nombres d’usage courant.
Critères de divisibilité (2, 3, 4, 5, 9, 10).

Calcul mental : calculer mentalement pour obtenir un résultat exact ou évaluer un ordre de grandeur.

Calcul en ligne : utiliser des parenthèses dans des situations très simples.

Règles d’usage des parenthèses.

Calcul posé : mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour l’addition, la soustraction, la multiplication, la division.

Techniques opératoires de calcul (dans le cas de la division, on se limite à diviser par un entier).

Calcul instrumenté : utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat.

Fonctions de base d’une calculatrice.

 

Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul

Résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations.

Sens des opérations.
Problèmes relevant :

des structures additives ;
des structures multiplicatives.

Organisation et gestion de données

Prélever des données numériques à partir de supports variés. Produire des tableaux, diagrammes et graphiques organisant des données numériques.

Exploiter et communiquer des résultats de mesures.

Représentations usuelles :tableaux (en deux ou plusieurs colonnes, à double entrée) ;diagrammes en bâtons, circulaires ou semi-circulaires ;graphiques cartésiens.

Proportionnalité

Reconnaitre et résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée.

 

 

 

Grandeurs et mesures

Au cycle 3, les connaissances des grandeurs déjà fréquentées au cycle 2 (longueur, masse, contenance, durée, prix) sont complétées et structurées, en particulier à travers la maitrise des unités légales du Système International d’unités (numération décimale ou sexagésimale) et de leurs relations. Un des enjeux est d’enrichir la notion de grandeur en abordant la notion d’aire d’une surface et en la distinguant clairement de celle de périmètre. Les élèves approchent la notion d’angle et se familiarisent avec la notion de volume en la liant tout d’abord à celle de contenance.

La notion de mesure d’une grandeur, consiste à associer, une unité étant choisie, un nombre (entier ou non) à la grandeur considérée. Il s’agit de déterminer combien d’unités ou de fractionnements de l’unité sont contenus dans la grandeur à mesurer. Les opérations sur les grandeurs permettent également d’aborder les opérations sur leurs mesures. Les notions de grandeur et de mesure de la grandeur se construisent dialectiquement, en résolvant des problèmes faisant appel à différents types de tâches (comparer, estimer, mesurer). Dans le cadre des grandeurs, la proportionnalité sera mise en évidence et convoquée pour résoudre des problèmes dans différents contextes.

Dans la continuité du cycle 2, le travail sur l’estimation participe à la validation de résultats et permet de donner du sens à ces grandeurs et à leur mesure (estimer en prenant appui sur des références déjà construites : longueurs et aire d’un terrain de basket, aire d’un timbre, masse d’un trombone, masse et volume d’une bouteille de lait…).

 

  • Attendus de fin de cycle                                                                                                     

Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux : longueur (périmètre), aire, volume, angle. Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs.

Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux.

Connaissances et compétences associées

Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux :

longueur (périmètre), aire, volume, angle

Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs

Comparer des périmètres avec ou sans recours à la mesure.

Mesurer des périmètres en reportant des unités et des fractions d’unités, ou en utilisant une formule.

Notion de longueur : cas particulier du périmètre.
Formule du périmètre d’un carré, d’un rectangle.
Formule de la longueur d’un cercle.
Unités relatives aux longueurs : relations entre les unités de longueur et les unités de numération (grands nombres, nombres décimaux).

Comparer, classer et ranger des surfaces selon leurs aires sans avoir recours à la mesure.

Différencier aire et périmètre d’une surface.

Déterminer la mesure de l’aire d’une surface à partir d’un pavage simple ou en utilisant une formule.

Estimer la mesure d’une aire par différentes procédures.

Unités usuelles d’aire : multiples et sous-multiples du m² et leurs relations, are et hectare.
Formules de l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un triangle, d’un disque.

Relier les unités de volume et de contenance.

Estimer la mesure d’un volume par différentes procédures.

Unités usuelles de contenance (multiples et sous multiples du litre).
Unités usuelles de volume (cm3, dm3, m3), relations entre les unités.

Déterminer le volume d’un pavé droit en se rapportant à un dénombrement d’unités ou en utilisant une formule.

Formule du volume d’un cube, d’un pavé droit.

Identifier des angles dans une figure géométrique.

Comparer des angles.

Reproduire un angle donné en utilisant un gabarit.

Reconnaitre qu’un angle est droit, aigu ou obtus.

Estimer la mesure d’un angle.

Estimer et vérifier qu’un angle est droit, aigu ou obtus.

Utiliser un instrument de mesure (le rapporteur) et une unité de mesure (le degré) pour :

- déterminer la mesure en degré d’un angle ;

- construire un angle de mesure donnée en degrés.

Notion d’angle.
Lexique associé aux angles : angle droit, aigu, obtus.
Mesure en degré d’un angle.

 

Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux

Résoudre des problèmes de comparaison avec et sans recours à la mesure.

Résoudre des problèmes dont la résolution mobilise simultanément des unités différentes de mesure et/ou des conversions.

Calculer des périmètres, des aires ou des volumes, en mobilisant ou non, selon les cas, des formules.

Formules donnant

le périmètre d’un carré, d’un rectangle, longueur d’un cercle ;
l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un triangle, d’un disque ;
le volume d’un cube, d’un pavé droit.

Calculer la durée écoulée entre deux instants donnés.

Déterminer un instant à partir de la connaissance d’un instant et d’une durée.

Unités de mesures usuelles: jour, semaine, heure, minute, seconde, dixième de seconde, mois, année, siècle, millénaire.

Proportionnalité

Identifier une situation de proportionnalité entre deux grandeurs.

Graphiques représentant des variations entre deux grandeurs.

 

 

Espace et géométrie

À l’articulation de l’école primaire et du collège, le cycle 3 constitue une étape importante dans l’approche des concepts géométriques. Prolongeant le travail amorcé au cycle 2, les activités permettent aux élèves de passer progressivement d'une géométrie où les objets (le carré, la droite, le cube, etc.) et leurs propriétés sont contrôlés par la perception à une géométrie où ils le sont par le recours à des instruments, par l’explicitation de propriétés pour aller ensuite vers une géométrie dont la validation ne s’appuie que sur le raisonnement et l’argumentation. Différentes caractérisations d’un même objet ou d’une même notion s’enrichissant mutuellement permettent aux élèves de passer du regard ordinaire porté sur un dessin au regard géométrique porté sur une figure.

Les situations faisant appel à différents types de tâches (reconnaitre, nommer, comparer, vérifier, décrire, reproduire, représenter, construire) portant sur des objets géométriques, sont privilégiées afin de faire émerger des concepts géométriques (caractérisations et propriétés des objets, relations entre les objets) et de les enrichir. Un jeu sur les contraintes de la situation, sur les supports et les instruments mis à disposition des élèves, permet une évolution des procédures de traitement des problèmes et un enrichissement des connaissances

Les professeurs veillent à utiliser un langage précis et adapté pour décrire les actions et les gestes réalisés par les élèves (pliages, tracés à main levée ou avec utilisation de gabarits et d’instruments usuels ou lors de l’utilisation de logiciels). Ceux-ci sont progressivement encouragés à utiliser ce langage.

Les activités spatiales et géométriques sont à mettre en lien avec les deux autres thèmes : résoudre dans un autre cadre des problèmes relevant de la proportionnalité ; utiliser en situation les grandeurs (géométriques) et leur mesure. Par ailleurs, elles constituent des moments privilégiés pour une première initiation à la programmation notamment à travers la programmation de déplacements ou de construction de figures.

 

  • Attendus de fin de cycle                                                                                                     

(Se) repérer et (se) déplacer dans l’espace en utilisant ou en élaborant des représentations.
Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire des figures et solides usuels.

 

  • Connaissances et compétences associées

(Se) repérer et (se) déplacer dans l’espace en utilisant ou en élaborant des représentations

Se repérer, décrire ou exécuter des déplacements, sur un plan ou sur une carte.

Accomplir, décrire, coder des déplacements dans des espaces familiers.

Programmer les déplacements d’un robot ou ceux d’un personnage sur un écran.

Vocabulaire permettant de définir des positions et des déplacements.
Divers modes de représentation de l’espace. 

 

Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire quelques solides et figures géométriques

Reconnaitre, nommer, comparer, vérifier, décrire :

- des figures simples ou complexes (assemblages de figures simples) ;

- des solides simples ou des assemblages de solides simples

à partir de certaines de leurs propriétés.

Figures planes et solides, premières caractérisations :

triangles dont les triangles particuliers (triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral) ;
quadrilatères dont les quadrilatères particuliers (carré, rectangle, losange, première approche du parallélogramme) ;
cercle (comme ensemble des points situés à une distance donnée d’un point donné).

Vocabulaire approprié pour nommer les solides : pavé droit, cube, prisme droit, pyramide régulière, cylindre, cône, boule.

Reproduire, représenter, construire :

- des figures simples ou complexes (assemblages de figures simples)

- des solides simples ou des assemblages de solides simples sous forme de maquettes ou de dessins ou à partir d’un patron (donné, dans le cas d’un prisme ou d’une pyramide, ou à construire dans le cas d’un pavé droit).

Réaliser, compléter et rédiger un programme de construction.

Réaliser une figure simple ou une figure composée de figures simples à l’aide d’un logiciel.

 

Reconnaitre et utiliser quelques relations géométriques

Effectuer des tracés correspondant à des relations de perpendicularité ou de parallélisme de droites et de segments.

Déterminer le plus court chemin entre deux points (en lien avec la notion d’alignement).

Déterminer le plus court chemin entre un point et une droite ou entre deux droites parallèles (en lien avec la perpendicularité).

Alignement, appartenance.
Perpendicularité, parallélisme (construction de droites parallèles, lien avec la propriété reliant droites parallèles et perpendiculaires).
Egalite de longueurs.
Egalite d’angles.
Distance entre deux points, entre un point et une droite.

Compléter une figure par symétrie axiale.

Construire la figure symétrique d'une figure donnée par rapport à un axe donné que l’axe de symétrie coupe ou non la figure, construire le symétrique d'une droite, d’un segment, d’un point par rapport à un axe donné.

Figure symétrique, axe de symétrie d’une figure, figures symétriques par rapport à un axe.
Propriétés de conservation de la symétrie axiale.
Médiatrice d’un segment.

Proportionnalité

Reproduire une figure en respectant une échelle.

Agrandissement ou réduction d’une figure.